2016年10月23日日曜日

外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる

【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる。

この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の1つの角度と関係していることと、
三角形の1つの角度が、余弦定理で三角形の3辺に関係していること
を使えば解けます。

先ず、正弦定理を思い出します。
この正弦定理から、
(1/R)=2sinA/a  (1)
が得られます。
次に、余弦定理を思い出します。
この余弦定理から、
2cosA/a=(b+c-a)/(abc) (2)
が得られます。
sinA+cosA=1  (3)
の関係に、この2つの式を代入します。
(1/R)=2sinA/a  (1)
2cosA/a=(b+c-a)/(abc) (2)
その代入の準備として、式3を少し変形します。
sinA+cosA=1  (3)
(2/a)(sinA+cosA)=(2/a)
((2sinA/a)+(2cosA/a))=(2/a)
これに、式1と式2を代入します。
(1/R)+{(b+c-a)/(abc)}=(2/a)

この式を(1/R)だけを左辺にした式に変形します。
(1/R)
=(2/a)-{(b+c-a)/(abc)}
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
={(2/a)-(b+c-a)/(abc)}
{(2/a)+(b+c-a)/(abc)}
={(2bc)-(b+c-a)}
{(2bc)+(b+c-a)}/(abc)
={(2bc)-b-c+a
{(2bc)+b+c-a}/(abc)
={-(b-c)+a}{(b+c)-a)}/(abc)
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
={(-(b-c)+a)((b-c)+a)}
{((b+c)-a)((b+c)+a)}/(abc)
=(-b+c+a)(b-c+a)
(b+c-a)(b+c+a)/(abc)
よって、
=(abc)/{(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}
R=(abc)/√{(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}

リンク:
「三角形の辺と角」(1)正弦定理
「三角形の辺と角」(2)余弦定理
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の外心
三角形の内心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次

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