2016年10月23日日曜日

チェバの定理

第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

定理17 チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)=1
これがチェバの定理です。

以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△RAX∽△RBYから
u=(c2/c1)m ・・・(1)
△QAX∽△QCZから
t=(b1/b2)m ・・・(2)
△XBY∽△XZCから
t=(a2/a1)u ・・・(3)

式(1)と式(2)からmを消去する。
(u/t)=(c2/c1)(b2/b1) ・・・(4)

以下で、式(4)と式(3)からu/tを消去する。
先ず、式(3)から
(t/u)=(a2/a1)
これを式(4)に代入する。
(a1/a2)=(c2/c1)(b2/b1)

(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)=1
(証明おわり)

【究極の証明方法】 
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に3次元空間を使って証明します。
この平面図形を3次元空間に配置し、
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。

上図のように直線BXQの高さを(0)にし、点Aの高さを(b2)にし、点Cの高さを(-b1)にします。

次に、この図の点Pの高さを求めます。
AX:XPが求められました。

この式を見ると、式にc1とc2がありません。
図形の左右を入れ替えるとbとcが置き換わりますので、
この式をcであらわすこともできることがわかります。

そのため、同様にして、AX:XPをcであらわした式を求めます。


AX:XPをあわらした以上の2つの式を連立します。
(証明おわり)

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次

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