2016年10月23日日曜日

第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(2/3)

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の問14をもう1度解きます。
【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう1つの補助線の位置もおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のAGであり、DCに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

線分AGの長さをmとします。
DF=(DB/AB)m=(2/3)m
FC=(EC/AE)m=(3/2)m

DF/FC=((2/3)m)/((3/2)m)
=4/9

DF:FC=4:9

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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