2016年10月21日金曜日

正四面体に内接する球

第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(3)この正四面体に内接する球の半径rを求めなさい。
教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。

正四面体に内接する球の中心は4つの面それぞれから半径rの距離の位置にあります。
それで、Oを頂点として1つの面を底面(面積S)とする三角錐が正四面体の4面の数だけできます。その4つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはrになります。

そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数=正四面体の体積(V)になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
S・r/3=V/4=(S・(正四面体の高さ)/3)/4

この式を変形します。
r=(正四面体の高さ)/4
=((√6)/3)a/4
=((√6)/12)a

(参考)正四面体の重心位置は高さの4分の1

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体の面が交差する角度
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