2016年10月23日日曜日

第5講「三角形の性質」(5)三角形の内心

(三角形の面積と内接円の半径の関係)

三角形の3つの内角の2等分線は、1点で交わり、その点から3辺までの距離は等しい。
その1点を三角形の内心と呼ぶ。
そして、その内心を中心として3辺に接する円を三角形の内接円とよびます。
【例題】△ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとし、内接円の半径をrとするとき、△ABCの面積Sは次の式で表わされることを示せ。

S=r(a+b+c)/2
内接円の中心(内心)をIとすると、
△IBCは、底辺BCに対する高さはrです。
そのため、その面積は a・r/2 です。

同様に、
△ICAも、底辺CAに対する高さはrです。
そのため、その面積は b・r/2 です。

△IABも、底辺ABに対する高さはrです。
そのため、その面積は c・r/2 です。

以上から、△ABCの面積Sは、
S=△IBC+△ICA+△IAB
=r(a+b+c)/2
になります。

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