2016年10月23日日曜日

第5講「三角形の性質」(7)三角形の垂心

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。

【定理9】△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わる。

【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な流れの思考パターンでこの定理を証明してみましょう。

上図のように、垂線ADと頂点Bから引いた垂線BEとの交点をHとします。
この図に、同じ角度だとわかる角度と、長さが分かる線の長さをことごとく書き込むと答えが見えてきます。

上図の各線分の長さをa1,a2,h,h1と名づけます。
すると、
交点Hの高さすなわちDHの長さh1=(a2・a1)/h
になります。
(△BDHは△ADCに相似であるから、この長さh1がこのようにあらわされます。)

この式は、垂線ADと線分BCとの関係だけであらわされています。
同様にして、
頂点Cから線分ABに垂直に引いた垂線と垂線ADとの交点の高さh1’も、
交点の高さh1’=(a2・a1)/h
になります。

そのため、その交点はHと同じ位置になります。
よって、
△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わります。
(証明おわり)

リンク:
方べきの定理
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
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