2016年10月23日日曜日

第2講2節 2直線の関係(三角形の垂心の座標)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問】下図のようにA点が原点Oにあり、BCがX座標軸に平行な三角形ABCの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Dの座標を求めよ。

(1)点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前BとCを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
(2) 高校2年になると、座標点Bの座標値の名前が、名前Bを引き継いだbなどの記号であらわすので、線分OBの長さをbで表します。
 三角形の頂点Bに対向する辺OCの長さは、高校1年までとは違って、b以外の記号で(上図ではcと)表します。

【解答】
 上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のxの係数とyの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、2つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。
(式1)*b-(式2)*cを計算して以下の式を得る。
(注意)D点のx座標が0ということは、AからBCに下ろした垂線にD点が交わることを意味する。すなわち、垂心は3つの直線の交点であることが示されている。
(式3)を式1に代入してy座標を求める。
∴Dの座標は、

すなわち、D点の辺BC上の高さは、
である。

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