2016年10月23日日曜日

三角錐の重心(四面体の重心)

「三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になります。」

以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角錐の重心を3次元座標の原点Oにして考えます。

三角錐ABCDの頂点の座標の平均
(A+B+C+D)/4
が三角錐の重心です。

図のように、A+B+C+D=(0,0,0)となるように座標を定めます。

ここで、三角錐の底面の三角形BCDの重心Gを定めると、
Gの座標は、
G((b+c+d)/3,(e+f+g)/3,(h+k+m)/3)=-A/3
になり、
OGは0Aに平行で長さが3分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AGは重心O点を通ることがわかり、
線分AGが点Oで3:1に分割されることもわかります。

すなわち、
三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になる
ことがわかります。

リンク:
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
三角形の重心
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次

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