2016年10月23日日曜日

三角形の重心の性質

以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角形の重心を座標の原点Oにして考えます。

三角形ABCの頂点の座標の平均
(A+B+C)/3
が三角形の重心です。

図のように、A+B+C=(0,0)となるように座標を定めます。

B(b,d)、
C(c,e)、
A(-b-c,-d-e)と座標を定めれば

A+B+C=0になります。

ここで、BCの中点Kを定めると、
Kの座標は、
K((b+c)/2,(d+e)/2)=-A/2
になり、
OKは0Aに平行で長さが2分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AKは重心O点を通ることがわかり、
線分AKが点Oで2:1に分割されることもわかります。

同様な証明のしかたで、三角錐の重心の性質もわかります。

リンク:
三角形の重心の性質の別解
三角錐の重心
三角形の垂心
三角形の外心
三角形の内心
2次関数のグラフの頂点に関する話
リンク:中学数学
リンク:高校数学(図形)一覧
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