2016年10月21日金曜日

正四面体に外接する球

第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その2/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(2)この正四面体に外接する球の半径Rを求めなさい。

図に球の中心Oを書き加えます。

正四面体の重心は、正四面体の高さの4分の1の位置にあります
正四面体はどの面を底面としても、その高さが同じ図形です。

そのため、正四面体の重心から正四面体の頂点までの長さは、頂点がABCDのどの点であっても同じ長さです。
そのため、重心を中心にする球は正四面体の頂点ABCD全てに接します。
よって、重心を中心とする球は正四面体に外接します。

ゆえに、正四面体に外接する球の半径Rの長さは、正四面体の重心から頂点までの長さであり、
それは、正四面体の高さの3/4です。

そして、正四面体の高さは、(√6/3)aです
∴R=(3/4)×(√6/3)a
=(√6/4)a

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次

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