2016年10月13日木曜日

正四面体の高さと表面積と体積

第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その1/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(1)この正四面体の表面積Sと体積Vを求めなさい。

この問題を解くためには、下図のように正四面体を書いて、わかる角度と長さをことごとく、(記号と数式で)図に書き込みます。すると答えが見えてきます。

図の②で〇印で書いた線分EGの長さのEDに対する3分の1の比は、以下のようにしてわかります。

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をGとすると、Gを頂点とする3つの三角形、△GBCと△GCDと△GDBは合同になります。

そのため、Gを頂点とする△GBCの面積は、底面BCDの面積の1/3です。
(三角形BCDが正三角形で無くても、Gが重心ならば、△GBCの面積は、三角形BCDの面積の1/3です。)

その面積の比から、△GBCの高さGEは、底面DBCの高さDEの1/3になります。
∴〇印で書いた線分の長さの比が1/3になることがわかりました。

図の③に計算式を記述した正四面体の高さを計算しておきます。
この式の(計算用紙での)計算は、計算のリズムを乱す(自分にとって)難しい変形はしないで、少しづつ式を変形していきます。


図から、正四面体の1つの面(三角形)の面積S/4は、
∴表面積S=(√3)a

体積V=底面積×高さ/3

リンク;
三角錐の体積の公式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
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