2016年10月10日月曜日

三角形の面積を三辺から求める公式

三角形の面積を三辺から求める公式を導く

以下の図のように2辺とその侠角のsin(θ)がわかれば、
三角形の面積Sがわかります。

S=bc・sinA/2 (式1)
です。
sinA=√(1-cosA) (式2)
を利用してSをcosAであらわせます。
cosA=(b+c-a)/(2bc) (式3:余弦定理)
を利用して、cosAをa,b,cのみであらわせます。
そのため、三角形の面積Sはa,b,cのみであらわせます。

以下で、式1を2乗した式を簡単にします。
=(bc・sinA/2)
式2を代入する。
=(bc/2)・sin
=(bc/2)(1-cosA)
式3を代入する。
=(bc/2)
・(1-{(b+c-a)/2bc}
=(bc/2)・(1/2bc)
・((2bc)-(b+c-a
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
=(bc/2)・(1/2bc)
・(2bc-(b+c-a))
・(2bc+(b+c-a))
=(1/2)
・(2bc-b-c+a
・(2bc+b+c-a
=(1/2)
・(-(b-c)+a
・((b+c)-a
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
=(1/2)
・(-(b-c)+a)((b-c)+a)
・((b+c)-a)((b+c)+a)
=(1/2)
・(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)
よって、
S=(1/2)
・√{(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}
この式はヘロンの公式と呼ばれています。

【別解】
この問題を以下の式の連立方程式として解きます。
S=bc・sinA/2 (式1)
cosA=(b+c-a)/(2bc) (式3:余弦定理)

この連立方程式から角度Aを消去するには、
sinA+cosA=1
に式1のsinAと式3のcosAを代入します。
sinA+cosA=1
(2S/(bc))+{(b+c-a)/(2bc)}=1
このように角度Aが消去された。

両辺に(2bc)を掛け算する。
4(2S)+(b+c-a=(2bc)
Sの項だけを左辺に出した式に変形する。
4(2S)=-(b+c-a+(2bc)
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
={-(b+c-a)+(2bc)}
{(b+c-a)+(2bc)}
={-b-c+a+(2bc)}
{b+c-a+(2bc)}
={-(b-c)+a
{(b+c)-a
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
={(-(b-c)+a)((b-c)+a)}
{((b+c)-a)((b+c)+a)}
=(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)
よって、
2(2S)=√{(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}
S=(1/4)√{(-b+c+a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次

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