2016年9月25日日曜日

第3講「三角形の辺と角」(2)余弦定理の覚え方

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習


上図から、三角形の辺に関して以下の関係が成り立ちます。
{c2 - X2}={b2 - (a - X)2}
c2 - X2=b2 - (a - X)2
c2- X2=b2-a2+2aX-X2
c2+a2-b2=2aX

ここで、
X=c・cos(∠B)
であることを代入する。
c2+a2-b2=2ac・cos(∠B)
これを第2余弦定理と呼びます。

ここで、この計算には
a=c・cos(∠B)+b・cos(∠C)
X=c・cos(∠B)
という式(第1余弦定理)を使いました。

ココをクリックすると、もっとおぼえやすい余弦定理の導き方(余弦定理の2番目にやさしい覚え方)があります

【余弦定理の一番やさしい覚え方】
上の図で、
c=b・cosA+a・cosB  (第1余弦定理)
です。
この式をa・bで割り算すると、
同様にして、
が得られます。
式1+式2-式3を計算すると、
となり、(第2)余弦定理が得られました。
この式4の形の余弦定理を覚えることが、多分、余弦定理を一番やさしく覚えられます。

【数式を見るコツ】
上の第2余弦定理の式、
これは複雑な式に見えますが、以下のように考えると、この式が簡単な式に見えてきます。

三角形の辺の長さをあらわすa,b,cは長さ(mとかcm)の単位を持ちます。
一方、cosBは、単位が1です。これは、無次元量とも呼びます。
長さの単位を累乗した累乗の程度は、式の左右で必ず同じになります。
このことを、「式の左右では単位の次元が同じになる」と言います。

式4の右辺は1/bがありますから、1/[長さ]の次元を持ちます。
式4の左辺は、c等を、(abc)で割り算しますので、
[長さ]/[長さ]=1/[長さ]
の次元になり、式の右辺と長さの次元が同じになります。
式4の左辺は右辺と長さの次元が一致するためにはc等だけでは不足していて、(abc)で割り算する必要がありました。

式の左右で単位の次元が必ず同じにならなければならないことを意識すると、式4は、こうでなければならないと納得できる式に見えてきます。

リンク:
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理の活用例(1)二辺侠角から残りの辺を求める
余弦定理の活用例(2)三角形の辺の長さを角から計算
余弦定理の活用(3)三角形の面積を三辺から求める公式
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)tanθを使った三平方の定理
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