2016年9月25日日曜日

第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習



【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題の解答用紙には書かない、計算用紙に書く計算(自分が納得して計算する)の細部を書きます。
(計算にはリズムがあります。計算用紙に書く自分の計算では、計算のリズムを乱す難しい式の変換はしないで、少しづつ式を変形するのが計算のコツです。)

ここでcos(B)を(第2)余弦定理で変換します。
《cosBに着目して置き換える事が重要。(ca・cosB)のまとめ置きかえは変換の自由度が低いので覚える価値低》
ここでcos(A)を(第2)余弦定理で変換します。
《以下の計算は、以下の2行は暗算により省略可能》
《以下の2~3行は暗算により省略することも可能》
(証明おわり)

以上の計算で、式を変形するとき、カッコをたくさん使って計算するのがコツです。カッコをつけ忘れないよう注意して計算してください。

【別解】
以上とは異なる発想で、この等式を以下のようにして解くこともできます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式から、変数cを減らします。
それは、以下の、第1余弦定理を利用します。
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線で辺cを分割した各線分の長さは、
a・cos(B)とb・cos(A)です。
そのため、以下の式がなりたちます(第1余弦定理)。
c=a・cos(B)+b・cos(A)
この式を先の式に代入して変数cを減らします。
(a・cos(B)+b・cos(A))(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式を変形します。
(a・cos(B))2-(b・cos(A))2-{a2-b2}=0
-a2(1-cos2(B))+b2(1-cos2(A))=0
-a2(sin2(B))+b2(sin2(A))=0
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
ここで、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです(正弦定理)。
a・sin(B)=b・sin(A)
そのため、
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
がなりたります。
(証明おわり)

【更に別解】
c(a・cosB-b・cosA)-{a2-b2}=0
を証明する。
この式の左辺をabcで割り算した式をFとする。
以下の2つの一番覚え易い形の第2余弦定理を代入する。
これをFに代入すると、

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