2016年9月25日日曜日

第3講「三角形の辺と角」(1)正弦定理の覚え方

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心(外心)とを描きます。
上の図で、三角形の頂点の角度∠A=θが外接円の円周角であり、それは中心角∠BOCの2分の1であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Rと、三角形の頂点の角度∠A=θとその頂点Aへの対辺の長さaとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。
すなわち、∠A=θの対辺の長さをaとすると、
この式を変形すると、
です。
同様に、
∠Bの対辺の長さをbとし、
∠Cの対辺の長さをcとすると、
が成り立ちます。
これらをまとめて正弦定理と呼びます。
正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

 円周角に関係が深い問題は正弦定理を使って解きましょう。

(後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校2年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。)

正弦定理は、三角形の辺と角度の間の以下の関係式も正弦定理です。
【正弦定理のやさしい覚え方】
上の図で、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです。
a・sin(B)=b・sin(A) (正弦定理)
この式のように、外接円の半径を省いた形の正弦定理でも、十分に応用できます。

リンク:
余弦定理
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の垂心
三角形の内心
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿