2014年1月1日水曜日

円順列とじゅず順列(7)

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問7】
(1)●3個と○4個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
●と○を並べる席が3+4=7箇所あります。
7つの席が固定されているならば、●3つを並べる組み合わせの数は、
=7×6×5/(3×2)=35通り
あります。
席への●と○の1つの円順列の配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、1つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この問題の場合に、回転することによってできる配置の数は7倍あります。
1つの回転から7倍の配置ができる組み合わせの数は、固定した席の組み合わせの数を7で割り算して数えます。
それは下の図のような●の配置の場合です。

もし、1回転の数分の1の回転で元の形と同じ形になる配置があれば、それは7倍とは異なる倍数の配置ができますが、
この問題の場合では、1回転の数分の1の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
つまり、この問題の場合では、席を固定した場合のどの配置も、円順列で1つと数えられる配置を回転して7倍になった配置であって、全て同じタイプの配置です。
よって、全部の円順列の数は、
円順列の数=35/7=5


(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に折り返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

(第1のタイプの配置)
下の形の配置は、円の中心を通る折り返し線を配置の中心軸にすれば、
折り返し線で折り返した配置の形を、元の配置と同じ形にできるタイプの配置です。

この第1のタイプの配置は3個あります。
第1のタイプ以外の配置では、折り返した形は、元の形を回転することでは作れません。
円順列では、第1のタイプ以外の配置では、元の配置と、折り返した後の配置とは異なる2個の配置と数えられています。
このように、第1のタイプ以外の配置は、円順列では2倍に数えられているので、
第1のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である2で割り算して求められ、その数は、
(5-3)/2=1
あります。
一方、第1のタイプのじゅず順列の数は3個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数=1+3=4


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