2014年1月1日水曜日

円順列とじゅず順列(9)

リンク:問10

円順列とじゅず順列の数を求めます。

以下の問題はかなり難しい(特に、じゅず順列の数の計算)ので、無理して読む必要は無いと思います。
この問題より先に、問10をやってください。
この問9は、どうしても読みたい人だけ読めば良いと考えます。

【問9】
(1)×2個と●2個と○4個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
×と●と○を並べる席が2+2+4=8箇所あります。
8つの席が固定されているならば、×2つと●2つと残り4つを並べる組み合わせの数は、
8!/(4!×2!×2!)=/(2!×2!)
=8×7×6×5/(2×2)=420通り
あります。
×と●と○の1つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては8倍の異なる配置になる場合があります。
固定した席への配置する場合の数の420通りの配置のうち、1つの円順列の配置を回転させて8倍の配置ができる場合については、その場合の数を8で割り算して円順列の数を数えます。

(第1のタイプの配置)
下の3つの円順列の配置では、1回転の2分の1の回転で元の形と同じ形になります。

このタイプの配置では、1つの円順列の配置を回転させて4倍の配置ができます。
この3つの円順列の配置以外では、1回転の数分の1の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
第1のタイプ以外の配置では、円順列で1つと数えられる配置を回転して(固定した席では)8倍の配置ができます。
第1のタイプ以外の円順列の数は、
第1のタイプ以外の円順列の数
=(固定席での全部の配置の数-(第1のタイプの円順列の数×4))/8
=(420-(3×4))/8=408/8=51
一方、第1のタイプの円順列の数は3組でした。
よって、全部の円順列の数は、
51+3=54
組みです。

(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る折り返し線でその円順列の配置を対称に折り返して、
それが、折り返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。

(第2のタイプの配置)
下の12の配置は、円の中心と×の配置の中間を通る折り返し線に関して対称な形であって、
折り返し線で折り返した配置の形が元の配置と同じ形になるタイプの配置です。

この第2のタイプの円順列は12個のみです。
第2のタイプ以外の配置では、折り返した形は、元の形を回転することでは作れません。
第2のタイプ以外の円順列の配置は、元の配置と、折り返した後の配置とは異なる2個の配置と数えられています。
このように、第2のタイプ以外の配置は、円順列では2倍に数えられているので、
第2のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である2で割り算して求められ、その数は、
(54-12)/2=21
あります。
一方、第2のタイプのじゅず順列の数は12個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数=21+12=33

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