2014年1月1日水曜日

重複組合せ(2)

答えの正しさを確認しやすいように問題を簡単にしてみました。
【3種の玉から重複を許して2個を選ぶ組み合わせの数】

上図のような3種の玉から、重複を許して2個を選ぶ組み合わせの数を求める。

この問題は、その組み合せと1対1に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

上の3種の玉と1種の指示が入った箱から、
目隠しして2個を取り出す組み合せの数が、
3種の玉から、重複を許して2個を選ぶ組み合わせの数である。

1種の指示を選んでも2つ目にはどれかの玉を選ぶことになる。
どれか選ばれた玉を玉1、玉2、玉3の順に上から下にならべる。
そして、
指示(1個目の玉を2個目に追加)は、
選んだ玉を並べた1つ目の玉の次に指示を並べ、その指示を2つ目の玉の替わりにする。
選んだ結果の、玉(及び指示)とにより、3種の玉から、重複を許して2個を選ぶ組み合わせが指定される。

例えば、以下の組み合わせ:
(1)玉2
(2)指示(1個目の玉を2個目に追加)
は、
(1)玉2
(2)玉2
の組み合わせに1対1に対応する

大事なポイントは、この玉と指示の組み合わせ(3種の玉と1種の指示から選んだ2つ)が、3種の玉から重複を許して2個を選ぶ組み合わせに1対1に対応することである。
(1)この玉と指示の組み合わせが、2つの玉を選ぶ1つの組み合わせを表す。
(2)逆に、2つの玉を選ぶ1つの組み合わせは、必ず、この玉と指示の組み合わせによって表すことができる。

そのため、
3種の玉から、重複を許して2個を選ぶ組み合わせの数
=3種(3個)の玉と1種の指示から2個を選ぶ組み合わせの数
(3+1)
=4×3/2=6
この6つの場合を順次に書くと以下の通りになります。

(1)
  玉1
  玉1
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉1
  指示(1個目の玉を2個目に追加)

(2)
  玉2
  玉2
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉2
  指示(1個目の玉を2個目に追加)

(3)
  玉3
  玉3
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉3
  指示(1個目の玉を2個目に追加)

(4)
  玉1
  玉2
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉1
  玉2

(5)
  玉1
  玉3
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉1
  玉3

(6)
  玉2
  玉3
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
  玉2
  玉3

3種の玉から、重複を許して2個を選ぶ組み合わせの数は、以上の6個のみです。

重複組み合わせの別解方法
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