2014年1月1日水曜日

円順列とじゅず順列(6)3種類の玉1+2+4

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問6】
(1)×1個と●2個と○4個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
この問題では、×が1個のみです。
このように、ある形の玉が1個のみの問題の考えかたは、以下のようにします。
つまり、その1個のみの玉×を円の最上部に固定して考えます。
円順列の数は、残りの●2個と○4個を並べる組み合わせの数になります。
●の位置を定めると残りの○の位置が自動的に決まりますので、●の配置の数だけを求めれば、
円順列の数が求められます。
その配置の数は、
=6×5/2=15通り
あります。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数=15

(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心と玉×を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

(第1のタイプ:線対称な配置)
下の3つの形の場合は、×と円の中心を通る線で円順列の配置を裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になります。

この(第1のタイプの配置の)円順列は3つしかありません。
(第2のタイプ:線対称で無い配置)
第2のタイプの円順列の配置は、裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形にならない。

その配置は、元の形と、それを裏返した形が別の配置として2個と数えられています。
そのため、第2のタイプの配置の、じゅず順列の数は、
第1のタイプ以外のじゅず順列の数
=(-3)/2=(15-3)/2=6
一方、第1のタイプのじゅず順列の数=3
です。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数=6+3=9

場合の数と確率
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