2014年1月1日水曜日

円順列とじゅず順列(5)

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問5】
(1)×1個と●2個と○3個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
この問題では、×が1個のみです。
このように、ある形の玉が1個のみの問題の考えかたは、以下のようにします。
つまり、その1個のみの玉×を円の最上部に固定して考えます。
円順列の数は、残りの●2個と○3個を並べる組み合わせの数になります。
●の位置を定めると残りの○の位置が自動的に決まりますので、●の配置の数だけを求めれば、
円順列の数が求められます。
その配置の数は、
=5×4/2=10通り
あります。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数=10

(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心と×を通る線でその円順列の配置を対称に折り返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

(第1のタイプの配置)
下の2つの形の場合は、×と円の中心を通る線で円順列の配置を折り返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になります。

この(第1のタイプの配置の)円順列は2つしかありません。
第1のタイプの配置以外の円順列配置は、折り返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になりません。
その配置は、元の形と、それを折り返した形が別の配置として2個と数えられています。
そのため、第1のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、
第1のタイプ以外のじゅず順列の数
=(-2)/2=(10-2)/2=4
一方、第1のタイプのじゅず順列の数=2
です。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数=4+2=6


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