2014年1月1日水曜日

円順列とじゅず順列(3)

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問3】
(1)●3個と○3個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
●と○を並べる席が3+3=6箇所あります。
6つの席が固定されているならば、●3つを並べる組み合わせの数は、
=6×5×4/(3×2)=20通り
あります。
席への●と○の1つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、1つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この場合に、回転することによってできる配置の数は6倍あります。
そのため、先に固定した席の組み合わせを計算して得た20通りの組み合わせのうち、1つの回転から6倍の配置ができる組み合わせの数は6で割り算して数えます。
それは下の図のような●の配置の場合です。
(第1のタイプの配置)

一方、この3つの●の配置の形のうち、
2分の1回転で元の形と同じ形になるものはありませんが、
3分の1回転で元の形と同じ形になるものがあります。
それは下の図のような●の配置の場合です。
(第2のタイプの配置)

このタイプの配置は、3分の1回転で元の形と同じ形になり、それが回転してできる配置の数は2倍になります。
このタイプの形は、回転することで2倍の配置ができるので、その配置の円順列の数は、
回転してできる全部の配置の数を2で割り算して数えます。
この第2のタイプの配置の円順列の数は上図に示した1つのみです。

(第1のタイプの配置の数)
それ以外の第1のタイプの配置は1回転(360°の回転)しないと元の形と同じにはなりません。
それらが回転してできる配置の数は、
回転で6倍に増えた第1のタイプの配置の数
=(全部の配置の数)-(回転して2倍の数になった第2のタイプの配置の数)
-(1×2)=20-2=18
です。
(第1のタイプの配置の円順列の数)
その数を6で割り算することで、第1のタイプの配置の円順列の数が得られます。
第1のタイプの配置の円順列の数=18/6=3

(全部の円順列の数)
一方、第2のタイプの配置の円順列の数は1個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数=3+1=4


(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に折り返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

(第3のタイプの配置)
下の形の場合は、円を折り返してできる配置の形が、元の配置を回転することではできない形になります。

円配列では、この形と、これを折り返した形が別の配置として2個と数えられています。

(第4のタイプの配置)
それ以外の形の配置は、折り返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、3つの●の配置の中点と円の中心を通る折り返し線で折り返した形は、折り返す前の配置と重なる同じ形になります。
これを第4のタイプの配置と呼びます。
このような対称な形の配置は以下の2つのみです。

第4のタイプの配置はじゅず順列でも円順列でも同じ2個の数と数えられています。

第3のタイプのじゅず順列の配置は円順列では2倍に数えられています。
そのため、第3のタイプのじゅず順列の数は、
第3のタイプのじゅず順列の数=
{円順列の総数-(第4のタイプのじゅず順列の数)}/2
=(4-2)/2=1
一方、第4のタイプのじゅず順列の数は2個です。
そのため、じゅず順列の数は、
じゅず順列の数=1+2=3


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