2013年12月31日火曜日

第4講:2次方程式の解と複素数(1)xの分数式を、xの一次式を分母にする分数の和であらわす

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第4講 2次方程式の解と複素数

【問】次の式を、xの一次式を分母にする分数の和であらわせ。
1/(x+1) (式1)

この式1は以下のように変形して解きます。
1/(x+1)
=1/((x+i)(x-i))
=a/(x+i)+b/(x-i) (式2)

式2のaとbは以下の式を解いて求める。
a(x-i)/((x+i)(x-i))
+b(x+i)/((x+i)(x-i))
=1/((x+i)(x-i))
分子だけ考えて、
a(x-i)+b(x+i)=1 (式3)
式3はxの値が何であっても、いつも成り立っている恒等式であるので、xの係数は0でなければならない。xの係数が0であるために、以下の式4がなりたつ。
b=-a (式4)
式4を式3に代入すると以下の式になる。
a(x-i)-a(x+i)=-2a・i=1
a=1/(-2i)
=i/(-2i・i)
=i/(2)
=i/2 (式5)
式5を式4に代入してbを求める。
b=-i/2 (式6)
式5と式6を式2に代入すると、以下の答えが得られる



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