2013年12月31日火曜日

円順列とじゅず順列(1)

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問1】
(1)●2個と○3個を円形に並べる方法(円順列)は何通りあるか。
(2)更に、それらを連結したじゅずを作る方法(じゅず順列)は何通りあるか。


(1)先ず、円順列の数を求めます。
●と○を並べる席が2+3=5箇所あります。
5つの席が固定されているならば、●2つを並べる組み合わせの数は、
=5×4/2=10通り
あります。
席への●と○の1つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、1つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この場合に、回転することによってできる配置の数は5倍あります。
そのため、先に固定した席の組み合わせを計算して得た10通りの組み合わせを5で割り算した答えが正しい円順列の数です。
円順列の数=10/5=2


(2)次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を中心から半分に分ける折り返し線で、その円順列の配置を対称に折り返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。
この問題の場合は、どの円順列の配置の円を折り返しても、
折り返してできる配置は、折り返す元の配置を回転すればできます。

ここで円の中心を通る折り返し線を円の中心のまわりに回転させると、
おりかえしてできる配置が円の中心のまわりに回転します。
折り返し線を、2つの●の間を通る位置に設定すれば、
その折り返し線で折り返した配置が、もとの配置と同じ配置になります。

そのため、じゅず順列の配置を折り返し線で折り返して新たな配置を作ろうとしても、
その配置が新しい配置の形にならないので,じゅず順列の数より円順列の数が多くなるということはありません。
ゆえに、じゅず順列の数は、円順列の数と同じ、2組です。

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