2013年12月31日火曜日

第4講 軌跡(2)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】mの値が変化するとき、2直線
mx-y+5m=0 (直線1)
x+my-5=0  (直線2)
の交点P(X,Y)の軌跡を求めよ。

交点P(X,Y)を与える式は、2直線を与える式をそのまま使うことができる。
mX-Y+5m=0 (式1)
X+mY-5=0  (式2)
ここで、この式を連立してmを消去すれば、XとYの式が得られるが、
その場合は、式からmが消えてしまうので、mの値の増減とともにP(X,Y)がどういうふうに移動して、どこまでがその移動範囲であるかどうかがわからなくなってしまうという欠点がある。
 そのため、この問題を解く方針としては、式1と式2から、Xのみをmで与える式と、Yのみをmで与える式を求めて、それからXとYの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
 大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
 そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

(式1)・m+(式2)を計算してYを消去する。
{mX-mY+5m}+{X+mY-5}=0
(m+1)X+5(m-1)=0
X=-5(m-1)/(m+1) (式3)
(式1)-(式2)・mを計算してXを消去する。
{mX-Y+5m}-{mX+mY-5m}=0
-(1+m)Y+10m=0
Y=10m/(m+1) (式4)
式3と式4でXとYがmであらわせた。
このような式のグループからmを消去する場合の計算技術としては、
(1)先ず、式3と式4が同じ形の分母を持っていることに注目する。
(2)次に、式3の分子と式4の分子を足し算して式3及び4の分母にできないかを考える。
(3)単純な足し算では、式3及び4の分母が出来ない場合は、分子を二乗して足し算して式3及び4の分母ができないかを考える。
 この式3の分子の二乗と式4の分子二乗を足し算すれば、式3及び式4の分母の二乗が作れることがわかります。
そのため、式3の二乗と式4の二乗を足し算します。
+Y
={(m-1)+(2m)}・(5/(m+1))
={m+2m+1}・(5/(m+1))
={(m+1)}・(5/(m+1))
=5
∴ X+Y=5 (式5)
ここで、式5は円の式ですが、そのXは式3のようにmであらわせる。
式3は変形すると
X=-5+10/(m+1) (式6)
式6は、mが-∞<m<+∞の範囲内で変化するとき、Xが、以下の範囲内を変化することをあらわしている。
-5<X≦+5
すなわち、Xがー5になるには、1/(m+1)が0にならなければならないが、それは、mがどれだけ大きくても0にはならない。そのため、X=-5は式5があらわす円の一部であるが、その点は式6及び式3ではあらわされない。

式4を見ると、mが正であるか負であるかによってYも正や負になることをあらわしている。
この関係を以下のように図示する。

結局、mが0から負の無限大に向かうとき、P(X,Y)は、式5であらわされる円の(5,0)から負のYの値の円の下側の周を(-5,0)に向かって進む。
mが0から正の無限大に向かうとき、P(X,Y)は、式5であらわされる円の(5,0)から正のYの値の円の下側の周を(-5,0)に向かって進む。
しかし、P点は決して、(-5,0)には到着しない。

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