2013年12月31日火曜日

第4講 軌跡(1)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】下図のように点A(a,b)とB(c,d)と原点を中心とする半径rの円上を動く点P(e,f)とを頂点とする三角形の重心G(x,y)は、点Pがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点G(x,y)の描く軌跡の方程式を導け。

先ず、動く点P(e,f)の円の方程式を書く
+f=r (式1)
次に、重心の座標の公式を使って、重心G(x,y)の座標を書く。
x=(a+c+e)/3 (式2)
y=(b+d+f)/3 (式3)
式1に式2と式3を代入してeとfを消去したい。
そのために、式2を以下の式に変形する。
3x=a+c+e
3x-a-c=e
e=3x-a-c (式4)
式2のx→y, a→b, c→d, e→f
と置きかえれば式3になるので、
式4の各数も、そのように置き換えれば、式3の変形結果になる。
よって
f=3y-b-d (式5)
この式4と式5を式1に代入してeとfを消去する。
(3x-a-c)+(3y-b-d)=r
両辺を3で割り算する。
(x-((a+c)/3))+(y-((b+d)/3))=(r/3)
この点G(x,y)は、中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、半径(r/3)の円周上にある。

【問2】次に、点Gがその円周上を完全に一周するかを調べよ。

完全に一周するかどうかを調べるには、偏角をあらわすパラメータθで点Pの位置をあらわす。
式1を満足する点Pの座標P(e,f)は、以下の式であらわされる。
e=r・cosθ (式6)
f=r・sinθ (式7)
θが0から2πラジアンまで変わるとP点は円周を一周する。
式6と式7を式2と式3に代入する。
x=(a+c+r・cosθ)/3 (式8)
y=(b+d+r・sinθ)/3 (式9)
式8と式9を変形する。
x=((a+c)/3)+(r/3)・cosθ (式10)
y=((b+d)/3)+(r/3)・sinθ (式11)
式10と式11から、
点G(x,y)は、
中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、
半径(r/3)の円周上の偏角θの位置にあり、
θが0から2πまで変化すれば、半径(r/3)の円周上を一回転する。

結局、点G(x,y)が円周上を一周するかどうかまで確かめなければならないので、問2を避けては通れない。
そのため、問1を解くのを省略して、問2を解いて、
点G(x,y)は、
中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、
半径(r/3)の円周上の偏角θの位置にある
という結論を得る方が効率的に全ての答えが得られる。
その円の方程式は、
(x-((a+c)/3))+(y-((b+d)/3))=(r/3)
とあらわせる。

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