2013年12月31日火曜日

3色玉の順列の数

【3色の玉を1列にならべる並べ方の数の問題】
×2個と○3個と●4個を1列に並べる並べ方の数を求めよ。

この問題は、上図のように考えます。
例えば○3個は区別されないので、上図のように、3個を並び変えた3!=6個の並び方は全部区別されずに1個の並びと数えます。
同様に、×2個を並び変えた2!=2個の並び方は全部区別されずに1個の並びと数えます。
同様に、●4個を並び変えた4!=4×3×2=24個の並び方は全部区別されずに1個の並びと数えます。
×も○も●の玉も全部の玉を1つ1つ区別して並べる順列の数は(2+3+4)!=9!です。
その順列の数は、
同じ色の玉同士を区別しない配置の順列の数に対して、
×の玉全部を区別した場合は2!倍の順列になり、
○の玉全部を区別した場合は3!倍の順列になり、
●の玉全部を区別した場合は4!倍の順列になり、
×も○も●の玉も全部の玉を1つ1つ区別した場合は2!×3!×4!倍の順列になります。
よって、同じ色の玉同士を区別しない配置の順列は、
9!/(2!×3!×4!)
になります。

この考え方は一般化でき、
×がm個、○がn個、●がp個、△がq個、□がr個を順番に並べる順列で、同じ色(形)の玉同士を区別しない順列の数は、
(m+n+p+q+r)!/(m!×n!×p!×q!×r!)
です。

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