2013年12月31日火曜日

第4講:2次方程式の解と複素数(1)2次方程式と複素数(その2)

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第4講 2次方程式の解と複素数

【問】次の式を因数分解せよ。
+2x+2

この式は以下のように変形して解きます。
+2X+2
=x+2X+1+1
=(x+1)+1
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
=((x+1)-i)((x+1)+i)
=(x+1-i)(x+1+i)

ここで使った数 i は虚数です。
i×i=-1
という、2乗すると負になる数です。
1-iとか1+iといった数は実数の1と虚数のiを混ぜた数であって、この数を複素数と呼びます。

上のようにして因数分解することで、全ての二次方程式を因数分解できるようになります。
なお、1+iと1-iは互いに共役(きょうやく)な複素数と呼びます。
(1+i)・(1-i)=1-(-1)=2
(1+i)+(1-i)=2
というように、
互いに共役(きょうやく)な複素数は、掛け算しても実数になり、
足し算しても実数になる性質を持ちます。

a+b・i≡z
として、実数aとbを使ってあらわした複素数をzと名付けたとき、
複素数z=a+b・iに共役な複素数(a-b・i)は上線付きのz記号であらわします。



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