2013年12月31日火曜日

第4講:2次方程式の解と複素数(1)虚数の平方根

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第4講 2次方程式の解と複素数

【問】次の式を解け。
√(i) (式1)

この式1の解は実数aとbを使って以下の式2であらわせると仮定して解きます。
√(i)=a+(b・i) (式2)
両辺を二乗する。
i=(a+(b・i))
i=a+2a・b・i+(b・i)
i=a+2a・b・i-b
i=2a・b・i+a-b
上の式の実数の係数で以下の式4が成り立ち、虚数の係数で式3がなりたつ。
i=2a・b・i (式3)
0=a-b (式4)
式4から、
a=±b (式5)
式5を式3に代入する。
i=±2b・i
i=2b・i
(a=b のみ成りたつ)
1=2b
1/2=b
±1/√2=b
a=±1/√2
よって、式2は、以下の式である。


《複素数平面》
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面を複素数平面と呼び、
その平面上の点で複素数をあらわします。

上図のように、例えば、虚数 i や、(1+i)/√2などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”1”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と0をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数zを、|z|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |i|=1

 上の図には、虚数iの平方根である(1+i)/√2があらわされていますが、(1+i)/√2の絶対値は1であって、(1+i)/√2は、0を中心とする半径1の円上にあります。
しかも、(1+i)/√2の実軸と成す角度は45度で、0と1を結ぶ線(実軸)と、0とiを結ぶ線(虚軸)が成す角90度のちょうど半分です。

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