2013年9月27日金曜日

二次関数のグラフ(放物線の焦点)

放物線の面白い性質を1つ書きます。
この話題は数学C(高校3年)で学びますが、数学ⅠA段階でも、以下の話は理解できるのではないかと思います。

y=xのグラフは以下の放物線グラフです。


このグラフのA点(0,1/4)はこの放物線の焦点と呼ばれています。
その理由は、この点Aから放物線のB点(x,y)まで行って、そこから垂直に上に上がってC点(x,4)まで行く経路の長さは、いつも同じ長さになるからです。

以下で、このことを示します。
AB=√{x+(y-(1/4))
=√{x+(x-(1/4))
=√{(x+(1/4))
=x+(1/4)

一方、
BC=4-y
=4-x

よって、
AB+BC=x+(1/4)+4-x
=(1/4)+4

このように、AからCまでの経路の長さは、
いつも同じ長さになります。

【放物線による光線の反射】
 放物線上のB点でおり曲がる経路と、B点の近くのD点でおり曲がる経路の長さが同じだと、どういうことがおきるかを、以下の図で考えます。
以下に示すように、この図の経路は、光線が放物線の部分BDを鏡にした鏡で反射する経路になります。
先ず、B点でおり曲がる経路をABCとし、D点でおり曲がる経路をA1-D-C1とします。
経路ABCと経路A1-D-C1は平行で、しかも、その長さが同じです。

経路ABCと経路A1-D-C1の長さが同じであるため、
ED=BF
となります。

△OBFと△ODEを考えると、
辺BF=辺DEであって、
α=∠ODE=∠OBFであり、∠R=∠OFB=∠OEDです。
このように2角侠辺が等しいので、△OBFと△ODEとは合同です。
また、△OBFと△ODEの残りの角である∠Oは
∠O=∠R-α=βであらわします。

△OBFと△ODEとは合同なため、OB=ODです。
そのため、三角形OBDは二等辺三角形になります。
その二等辺三角形OBDの頂角∠O(=∠BOD)=βの2等分線OHは底辺BDに垂直に交わります。

線分BDはβ=∠EDHの二等分線になり、
β/2=∠BDE=∠GDC1 の関係があります。

経路A1-D-C1を光線の経路と考えると、
∠BDE=β/2は入射する光線が線分BDと成す角であって、
∠GDC1=β/2は反射する光線が線分BDと成す角です。
そして、それらの角度が等しいので、光線の鏡への入射と反射の関係がなりたっています。
そのため、経路A1-D-C1は、線分BDの鏡に入射して反射する光線の経路と同じです。

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
二次関数のグラフの平行移動
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
高校数学一覧

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