2013年9月27日金曜日

二次方程式の解の公式のやさしい覚え方

aX+bX+c=0  ①
この解の公式を導く。
以下のように変形すれば、この式を因数分解して、解の公式を導くことができます。
aX+bX+c=0
変形して以下の式を得る。
すなわち、上の様に定義した係数BとCを使った式②を得た。+BX+C=0  ②

この式②を少し変形した式:
+BX+G=0  ③
を考えます。
ここで、Gはマイナスの数になることもできるもの(Gは虚数も可能)とします。


(補足)-----------------
 ここで、Gの二乗を使うのは、
この式③の全ての文字定数B,Gと変数Xに長さの「次元」を持たせて、式に、次元の色合いを付けるためです。
 式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
 その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

-------(補足おわり)-------

更に変形した式:
+2HX+G=0  ④
を考えます。
2H ≡ B
です。


変形して、
(X+H)-H+G=0  ⑤

次に、
-G ≡ D ≡ K  ⑥
と定義したKを使って式を書き直す。

ここで、Kの二乗を使ったのは、
式の文字定数Kに長さの「次元」を持たせるためです。


(X+H)-K=0  ⑦
これは、因数分解できる。
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う》
(X+H-K)(X+H+K)=0  ⑧
よって、Xは、
X=-H+K, ⑨
X=-H-K  ⑩

定数HとKを元の係数を使ってあらわすと、

⑨と⑩を書きかえると、
これで、既に解の公式であるが、
これを良く知られた解の公式の形に変形してみれば、以下の式になる。

【二次方程式の解の公式を簡単にしておぼえる】
解の公式をすぐ応用できるようになるには、
以下のように簡単にした解の公式を覚えれば十分。
+2HX+G=0  ④
変形して、
(X+H)-H+G=0

ーG ≡ D ≡ K  ⑥
と定義したKを使って式を書き変える。
(X+H)-K=0
これは、因数分解できる。
【 P-Q=(P-Q)(P+Q)を覚えておくこと。】
このように因数分解できることをおぼえてください。
あとの式は、いつでも導き出せます。

この因数分解から、Xは、以下の2つの解を持つ。
X=-H-K,
X=-H+K

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
中学数学一覧
高校数学(グラフと数式、他)一覧
リンク:高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿