重複組合せ（２）

答えの正しさを確認しやすいように問題を簡単にしてみました。
【３種の玉から重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数】

上図のような３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数を求める。

【解答１】
　この問題は、その組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

上の３種の玉と１種の指示が入った箱から、
目隠しして２個を取り出す組み合せの数が、
３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数である。

１種の指示を選んでも２つ目にはどれかの玉を選ぶことになる。
どれか選ばれた玉を玉１、玉２、玉３の順に上から下にならべる。
そして、
指示(１個目の玉を２個目に追加)は、
選んだ玉を並べた１つ目の玉の次に指示を並べ、その指示を２つ目の玉の替わりにする。
選んだ結果の、玉（及び指示）とにより、３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせが指定される。

例えば、以下の組み合わせ：
（１）玉２
（２）指示(１個目の玉を２個目に追加)
は、
（１）玉２
（２）玉２
の組み合わせに１対１に対応する。

大事なポイントは、この玉と指示の組み合わせ（３種の玉と１種の指示から選んだ２つ）が、３種の玉から重複を許して２個を選ぶ組み合わせに１対１に対応することである。
（１）この玉と指示の組み合わせが、２つの玉を選ぶ１つの組み合わせを表す。
（２）逆に、２つの玉を選ぶ１つの組み合わせは、必ず、この玉と指示の組み合わせによって表すことができる。

そのため、
３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数
＝３種（３個）の玉と１種の指示から２個を選ぶ組み合わせの数
＝_{（３＋１）}Ｃ_２
＝４×３／２＝６
この６つの場合を順次に書くと以下の通りになります。

（１）
　　玉１
　　玉１
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉１
　　指示(１個目の玉を２個目に追加)

（２）
　　玉２
　　玉２
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉２
　　指示(１個目の玉を２個目に追加)

（３）
　　玉３
　　玉３
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉３
　　指示(１個目の玉を２個目に追加)

（４）
　　玉１
　　玉２
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉１
　　玉２

（５）
　　玉１
　　玉３
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉１
　　玉３

（６）
　　玉２
　　玉３
の組み合わせ。
これには、以下の玉と指示の組み合わせが対応する。
　　玉２
　　玉３

３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数は、以上の６個のみです。
（解答おわり）

_{【解答２】}

上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが２の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
玉①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
玉②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
玉③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
２個の玉を取る場合の、玉①を数と玉②を取った数と玉③を取った１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数と等しい。

上図の経路は、
→↑→↑
とあらわせる。

図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)２つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
_{（２＋２）}Ｃ_２
＝（２＋２）！／（２！×２！）
＝４×３／２＝６
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）

場合の数と確率
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