３色玉の順列の数

【３色の玉を１列にならべる並べ方の数の問題】
玉×２個と○３個と●４個を１列に並べる並べ方の数を求めよ。

この問題は、上図のように考えます。
例えば玉○３個は区別されないので、上図のように、３個を並び変えた３！＝６個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。
同様に、玉×２個を並び変えた２！＝２個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。
同様に、玉●４個を並び変えた４！＝４×３×２＝２４個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。
玉×も○も●も全部の玉を１つ１つ区別して並べる順列の数は（２＋３＋４）！＝９！です。
その順列の数は、
同じ色の玉同士を区別しない配置の順列の数に対して、
玉×の全部を区別した場合は２！倍の順列になり、
玉○の全部を区別した場合は３！倍の順列になり、
玉●全部を区別した場合は４！倍の順列になり、
玉×も○も●も全部の玉を１つ１つ区別した場合は２！×３！×４！倍の順列になります。
よって、同じ色の玉同士を区別しない配置の順列は、

になります。

この考え方は一般化でき、
玉×がｍ個、○がｎ個、●がｐ個、△がｑ個、□がｒ個を順番に並べる順列で、同じ色（形）の玉同士を区別しない順列の数は、

です。

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