二次方程式の解の公式のやさしい覚え方

ａ ${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋ｂＸ＋ｃ＝０　　①
この解の公式を導く。
以下のように変形すれば、この式を因数分解して、解の公式を導くことができます。
ａ ${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋ｂＸ＋ｃ＝０
変形して以下の式を得る。

すなわち、上の様に定義した係数ＢとＣを使った式②を得た。
${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋ＢＸ＋Ｃ＝０　　②

この式②を少し変形した式：
${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋ＢＸ＋ ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ＝０　　③
を考えます。
ここで、 ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ はマイナスの数になることもできるもの（Ｇは虚数も可能）とします。

（補足）－－－－－－－－－－－－－－－－－
　ここで、Ｇの二乗を使うのは、
この式③の全ての文字定数Ｂ，Ｇと変数Ｘに長さの「次元」を持たせて、式に、次元の色合いを付けるためです。
　式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
　その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。
－－－－－－－（補足おわり）－－－－－－－

更に変形した式：
${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋２ＨＸ＋ ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ＝０　　④
を考えます。
２Ｈ ≡ Ｂ
です。

【注意】以下の式の変形は
　 「ｘの有無項の二乗の引き算の公式」

を使った平方完成の公式を適用しています。

④式を変形して、
${\mathrm{（Ｘ＋Ｈ）}}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｈ}^{\mathrm{２}}$ ＋ ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ＝０　　⑤

次に、
${Ｈ}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ≡ Ｄ ≡ ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ 　　⑥
と定義した ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ を使って式を書き直す。

ここで、Ｋの二乗を使ったのは、
式の文字定数Ｋに長さの「次元」を持たせるためです。

${\mathrm{（Ｘ＋Ｈ）}}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ ＝０　　⑦
これは、因数分解できる。
《公式 ${Ｐ}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｑ}^{\mathrm{２}}$ ＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
（Ｘ＋Ｈ－Ｋ）（Ｘ＋Ｈ＋Ｋ）＝０　　⑧
よって、Ｘは、
Ｘ＝－Ｈ＋Ｋ，　⑨
Ｘ＝－Ｈ－Ｋ　　⑩

定数ＨとＫを元の係数を使ってあらわすと、

⑨と⑩を書きかえると、

これで、既に解の公式であるが、
これを良く知られた解の公式の形に変形してみれば、以下の式になる。

【二次方程式の解の公式を簡単にしておぼえる】
解の公式をすぐ応用できるようになるには、
以下のように簡単にした解の公式を覚えれば十分。
${Ｘ}^{\mathrm{２}}$ ＋2ＨＸ＋ ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ＝０　　④
変形して、
${\mathrm{（Ｘ＋Ｈ）}}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｈ}^{\mathrm{２}}$ ＋ ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ＝０

${Ｈ}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｇ}^{\mathrm{２}}$ ≡ Ｄ ≡ ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ 　　⑥
と定義した ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ を使って式を書き変える。
${\mathrm{（Ｘ＋Ｈ）}}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｋ}^{\mathrm{２}}$ ＝０
これは、因数分解できる。
【 ${Ｐ}^{\mathrm{２}}$ － ${Ｑ}^{\mathrm{２}}$ ＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を覚えておくこと。】
（Ｘ＋Ｈ－Ｋ）（Ｘ＋H＋Ｋ）＝０
このように因数分解できることをおぼえてください。
あとの式は、いつでも導き出せます。

この因数分解から、Ｘは、以下の２つの解を持つ。
Ｘ＝－Ｈ－Ｋ，
Ｘ＝－Ｈ＋Ｋ

リンク：
平方完成の公式
２次関数のグラフの頂点に関する話
中学数学の目次
高校数学（グラフと数式、他）一覧
高校数学の目次